Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y=f(x) là hàm số xác định trên K.

Hàm số y=f(x) được gọi là đồng biến trên K nếu với mọi x_1,x_2 thuộc K, x_1<x_2 thì f(x_1)<f(x_2).

Hàm số y=f(x) được gọi là nghịch biến trên K nếu với mọi x_1,x_2 thuộc K, x_1<x_2 thì f(x_1)>f(x_2).

Chú ý. Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải; nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Khi không chỉ rõ K thì hiểu là xét trên tập xác định.

Ví dụ 1. Với y=|x|, tập xác định là R. Từ đồ thị suy ra hàm số nghịch biến trên \((-\infty;0)\), đồng biến trên \((0;+\infty)\).

Định lí về dấu đạo hàm

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng K. Nếu f'(x)>0 với mọi x thuộc K thì f(x) đồng biến trên K. Nếu f'(x)<0 với mọi x thuộc K thì f(x) nghịch biến trên K.

Chú ý. Định lí vẫn vận dụng khi f'(x)=0 tại một số hữu hạn điểm trong K. Nếu f'(x)=0 với mọi x thuộc K thì f(x) không đổi trên K.

Ví dụ 2. Xét y=x^2-4x+2. Ta có y'=2x-4. Vì y'>0 khi x>2 và y'<0 khi x<2 nên hàm số đồng biến trên \((2;+\infty)\), nghịch biến trên \((-\infty;2)\).

Các bước xét tính đơn điệu của hàm số y=f(x):

1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm x_i mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến.

Ví dụ 3. Xét y=(x^2-2x+5)/(x-1), tập xác định R\{1}. Ta có y'=(x^2-2x-3)/(x-1)^2; y'=0 khi x=-1 hoặc x=3. Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên \((-\infty;-1)\) và \((3;+\infty)\); nghịch biến trên \((-1;1)\) và \((1;3)\).

Ví dụ 4. Xét y=(x-2)/(x+1), tập xác định R\{-1}. Ta có y'=3/(x+1)^2>0 với mọi x≠-1. Do đó hàm số đồng biến trên \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\).

a) Khái niệm cực trị

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b), x_0 thuộc (a;b).

Nếu tồn tại h>0 sao cho f(x)<f(x_0) với mọi x thuộc (x_0-h;x_0+h), x≠x_0 thì hàm số đạt cực đại tại x_0.

Nếu tồn tại h>0 sao cho f(x)>f(x_0) với mọi x thuộc (x_0-h;x_0+h), x≠x_0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x_0.

Nếu hàm số đạt cực đại tại x_0 thì x_0 là điểm cực đại, f(x_0) là giá trị cực đại và M(x_0;f(x_0)) là điểm cực đại của đồ thị. Tương tự cho cực tiểu. Các điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị; các giá trị tương ứng gọi là giá trị cực trị.

Ví dụ 5. Từ đồ thị Hình 1.8: hàm số đạt cực tiểu tại x=-1 với y=2; đạt cực đại tại x=0 với y=3; đạt cực tiểu tại x=1 với y=2.

Định lí

Giả sử y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa x_0 và có đạo hàm trên (a;x_0) và (x_0;b).

Nếu f'(x)<0 trên (a;x_0) và f'(x)>0 trên (x_0;b) thì x_0 là một điểm cực tiểu của f(x).

Nếu f'(x)>0 trên (a;x_0) và f'(x)<0 trên (x_0;b) thì x_0 là một điểm cực đại của f(x).

Các bước tìm cực trị:

1. Tìm tập xác định.
2. Tính đạo hàm f'(x), tìm các điểm mà f'(x)=0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị.

Ví dụ 6. Tìm cực trị của y=x^3-6x^2+9x+30. Tập xác định R. Ta có y'=3x^2-12x+9; y'=0 khi x=1 hoặc x=3. Từ bảng biến thiên: hàm số đạt cực đại tại x=1, y_CĐ=34; đạt cực tiểu tại x=3, y_CT=30.

Chú ý. Nếu f'(x_0)=0 nhưng f'(x) không đổi dấu khi x qua x_0 thì x_0 không phải là điểm cực trị. Chẳng hạn f(x)=x^3 có f'(x)=3x^2, f'(0)=0 nhưng x=0 không phải điểm cực trị.

Ví dụ 7. Xét y=(x^2-2x+9)/(x-2), tập xác định R\{2}. Ta có y'=(x^2-4x-5)/(x-2)^2; y'=0 khi x=-1 hoặc x=5. Từ bảng biến thiên: hàm số đạt cực đại tại x=-1 với y_CĐ=-4; đạt cực tiểu tại x=5 với y_CT=8.

Ví dụ 8. Xét y=(x+1)/(x-1), tập xác định R\{1}. Ta có y'=-2/(x-1)^2<0 với mọi x≠1. Từ bảng biến thiên suy ra hàm số không có cực trị.

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi công thức

Phương pháp:

1. Tìm tập xác định D.
2. Tính đạo hàm y'=f'(x).
3. Tìm nghiệm của f'(x) hoặc những giá trị x làm cho f'(x) không xác định.
4. Lập bảng biến thiên.
5. Kết luận.

Các ví dụ điển hình thường gặp:

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của y=x^3-3x^2+1.

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của y=x^4-2x^2.

Ví dụ 3: Tìm các khoảng đơn điệu của y=(3x+1)/(1-x).