1.2. Chủ đề 2: Hàm số và đồ thị
1.2. Chủ đề 2: Hàm số và đồ thị
HÀM SỐ BẬC HAI VÀ CÁC CÂU TOÁN TƯƠNG GIAO
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
DẠNG 1: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC PARABOL, TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM
Giả sử đường thẳng là \(d: y = mx + n\) và parabol là \((P): y = ax^2\) \((a \neq 0)\).
Bước 1 Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \((P)\)
\(ax^2 = mx + n \Leftrightarrow ax^2 - mx - n = 0 (*)\)
Bước 2 Lập luận: \(d\) tiếp xúc với \((P) \Leftrightarrow\) Phương trình (*) có nghiệm kép
\(\Delta = 0\) (hoặc \(\Delta' = 0\)) thì tìm được tham số.
Bước 3 Thay giá trị tham số tìm được vào phương trình \((*)\) ta tìm được \(x\) thay \(x\) vừa tìm vào \(y = ax^2\)
hoặc \(y = mx + n\) thì tìm được \(y\) kết luận.
DẠNG 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARABOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A, B THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI \(x_A\) VÀ \(x_B\)
Giả sử đường thẳng \(d: y = mx + n\) và parabol là \((P): y = ax^2\) \((a \neq 0)\).
Bước 1 Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \((P)\)
\(ax^2 = mx + n \Leftrightarrow ax^2 - mx - n = 0 \ (*)\)
Bước 2 Tìm điều kiện để \(d\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\)
\(\Leftrightarrow\) Phương trình \((*)\) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta > 0\) (hoặc \(\Delta' > 0\)).
Bước 3 Biến đổi biểu thức đối xứng với \(x_A, x_B\) về \(x_A + x_B; x_A \cdot x_B\) rồi sử dụng định lý Viét với \(x_A, x_B\) là hai nghiệm của phương trình (*).
Một số điều kiện và phép biến đổi cần nhớ:
- Hai điểm \(A\) và \(B\) nằm bên phải trục \(Oy\) khi \(x_A, x_B\) cùng dương.
- Hai điểm \(A\) và \(B\) nằm bên trái trục \(Oy\) khi \(x_A, x_B\) cùng âm.
- Hai điểm \(A\) và \(B\) nằm cùng một phía trục \(Oy\) khi \(x_A, x_B\) cùng dấu.
- Hai điểm \(A\) và \(B\) nằm về hai phía trục \(Oy\) khi \(x_A, x_B\) trái dấu.
- Công thức tính \(y_A\) theo \(x_A\) và tính \(y_B\) theo \(x_B\)
Cách 1 Tính theo \((P)\): vì \(A, B \in (P): y = ax^2\) nên \(y_A = ax_A^2; y_B = ax_B^2\).
Cách 2 Tính theo \(d\): vì \(A, B \in d: y = mx + n\) nên \(y_A = mx_A + n; y_B = mx_B + n\)
Giả sử \(x_A = x_1; x_B = x_2\)
- Gặp \(x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\)
- Gặp \(|x_1 - x_2|\) thì xét \(|x_1 - x_2|^2 = (x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2\)
- Gặp \(\dfrac{|x_1| + |x_2|}{2}\) thì xét \((|x_1| + |x_2|)^2 = |x_1|^2 + |x_2|^2 + 2|x_1||x_2| = x_1^2 + x_2^2 + 2|x_1x_2| = (x_1 + x_2)^2 + 2|x_1x_2| - 2x_1x_2\)
- Gặp \(\sqrt{x_1}, \sqrt{x_2}\) thì cần thêm điều kiện phụ \(x_1 \geq 0; x_2 \geq 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 + x_2 \geq 0 \\ x_1x_2 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{b}{a} \geq 0 \\ \dfrac{c}{a} \geq 0 \end{cases}\)
- Gặp \(x_1.x_2\) là độ dài hai cạnh tam giác ta cần thêm điều kiện phụ \(x_1.x_2 > 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} > 0 \\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} > 0 \end{cases}\). Đối bình phương hai vế ta cần thêm điều kiện phụ là hai vế lớn hơn hoặc bằng 0.
DẠNG 3: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARABOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A, B THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI \(X_A\) VÀ \(X_B\)
Cách 1 Kết hợp điều kiện của bài toán với \({{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}}\) để giải \({{x_1}{x_2}}\) theo tham số rồi thay \({{x_1}{x_2}}\) vừa giải được vào \({{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}}\)
Cách 2 Nếu tính \(\Delta\) hoặc \(\Delta'\) mà ra một biểu thức bình phương thì ta tìm hai nghiệm đó và phải xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Xét \(x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\); \(x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\)
Trường hợp 2: Xét \(x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\); \(x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)
DẠNG 4: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARABOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A, B LIÊN QUAN ĐẾN TUNG ĐỘ A, B.
Dạng này ta cần tính \(y_A\) theo \(x_A\) và tính \(y_B\) theo \(x_B\) theo một trong hai cách:
DẠNG 5: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI, DIỆN TÍCH