1.6. Chủ đề 6: Một số yếu tố thống kê và xác suất
1.6. Chủ đề 6: Một số yếu tố thống kê và xác suất
XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH XÁC SUẤT ĐƠN GIẢN
PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN VÀ KHÔNG GIAN MẪU
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức
Lý thuyết
❶. Phép thử ngẫu nhiên – Không gian mẫu
- Các hoạt động mà ta không thể biết trước được kết quả của nó, nhưng biết tất cả các kết quả có thể xảy ra được gọi là phép thử ngẫu nhiên (còn gọi là phép thử).
- Không gian mẫu, ký hiệu \(\Omega\), là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử.
- Các kết quả có thể xảy ra của một phép thử có khả năng xuất hiện như nhau được gọi là đồng khả năng.
- Kết quả thuận lợi cho biến cố là một kết quả có thể của phép thử làm cho biến cố xảy ra.
- Chẳng hạn: Khi ta tung một đồng xu có 2 mặt, ta hoàn toàn không biết trước được kết quả của nó, tuy nhiên ta lại biết chắc chắn rằng đồng xu rơi xuống sẽ ở một trong 2 trạng thái: sấp (S) hoặc ngửa (N).
- Không gian mẫu của phép thử là \(\Omega = \{S, N\}\)
Ⓑ. Phân dạng toán
⬩Dạng ❶: Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
Ví dụ minh họa:
Ví dụ ① Hộp thứ nhất có 1 viên bi xanh. Hộp thứ hai có 1 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Bạn Xuân lấy ra 1 viên bi từ hộp thứ nhất. Bạn Thu lấy ra 1 viên bi từ hộp thứ hai.
a) Phép thử của bạn Xuân có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?
b) Phép thử của bạn Thu có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?
Ví dụ ② Trong các hoạt động sau, hoạt động nào là phép thử ngẫu nhiên? Tại sao?
a) Chọn ra lần lượt hai tấm thẻ từ hộp có 2 tấm thẻ
b) Chọn bất kì 1 quyển sách từ giá sách
c) Chọn 1 cây bút chì từ ống bút chì
Ví dụ ③ Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3,..., 12; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Xét phép thử "Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp".
a) Nêu những kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên thẻ được rút ra.
b) Viết không gian mẫu của phép thử đó.
Ví dụ ④ Xác định không gian mẫu của các phép thử sau:
a) Gieo 2 lần một đồng xu có 1 mặt xanh và 1 mặt đỏ.
b) Lấy ra 1 quả bóng từ một hộp chứa 3 quả bóng được đánh số 1; 2; 3, xem số, trả lại hộp rồi lại lấy ra 1 quả bóng từ hộp đó.
⬩Dạng ❷: Toán ứng dụng thực tế
Ví dụ minh họa:
Ví dụ ① Có hai nhóm học sinh: Nhóm I có ba học sinh nam là Huy, Sơn, Tùng; nhóm II có ba học sinh nữ là Hồng, Phương, Linh. Giáo viên chọn ngẫu nhiên một học sinh từ mỗi nhóm.
a) Phép thử và kết quả của phép thử là?
b) Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?
Ví dụ ② Một cửa hàng muốn tặng hai phần quà cho hai trong bốn khách hàng có lượng mua nhiều nhất trong tháng bằng cách rút thăm ngẫu nhiên. Việc rút thăm được tiến hành như sau: Nhân viên viết tên bốn khách hàng đó vào 4 lá phiếu để vào một chiếc hộp. Nhân viên rút ngẫu nhiên một lá phiếu trong hộp. Lá phiếu rút ra không trả lại vào hộp. Sau đó, nhân viên tiếp tục rút ngẫu nhiên một lá phiếu từ ba lá phiếu còn lại. Hai khách hàng có tên trong hai lá phiếu được rút ra là hai khách hàng được tặng quà. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?
a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?
b) Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?
Ví dụ ③ Một tấm bìa cứng hình tròn được chia thành ba hình quạt bằng nhau, đánh số 1;2;3 và được gắn vào trục quay có mũi tên cố định ở tâm(H.8.1). Bạn Hiền quay tấm bìa hai lần và quan sát xem mũi tên chỉ vào hình quạt nào khi tấm bìa dừng lại.
a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?
b) Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?
Ví dụ ④ Trên giá có 1 quyển sách Ngữ văn, 1 quyển sách Mĩ thuật và 1 quyển sách Công nghệ. Bạn Hà và bạn Thúy lần lượt lấy ra ngẫu nhiên quyển sách từ giá.
a) Xác định không gian mẫu của phép thử.
b) Xác định các kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố sau:
A: "Có 1 quyển sách Ngữ văn trong 2 quyển sách được lấy ra";
B: "Cả hai quyển sách lấy ra đều là sách Mĩ thuật";
C: "Không có quyển sách Công nghệ nào trong 2 quyển sách được lấy ra".
Ⓒ. Rèn luyện tự luận
Câu 1: Cho phép thử gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng nhất. Giả sử kết quả của phép thử là con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 1 chấm, con xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm. Trong các biến cố sau, biến cố nào xảy ra, biến cố nào không xảy ra?
A: "Tổng số chấm xuất hiện lớn hơn 1";
B: "Tích số chấm xuất hiện là số chẵn";
C: "Hai mặt xuất hiện có cùng số chấm".
Câu 2: Một hộp có 4 quả bóng được đánh số lần lượt từ 1 đến 4. Bạn Trọng và bạn Thủy lần lượt lấy ra ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp.
a) Xác định không gian mẫu phép thử
b) Xác định các kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố sau:
A: "Số ghi trên quả bóng của bạn Trọng lớn hơn số ghi trên quả bóng của bạn Thủy";
B: "Tổng các số ghi trên 2 quả bóng lấy ra lớn hơn 7".
Câu 3: Ba khách hàng M, N, P đến quầy thu ngân cùng một lúc. Nhân viên thu ngân sẽ lần lượt chọn ngẫu nhiên từng người để thanh toán.
a) Xác định không gian mẫu của phép thử.
b) Xác định các kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố sau:
A: "M được thanh toán cuối cùng";
B: "N được thanh toán trước P";
C: "M được thanh toán".
Câu 4: Một hộp chứa 1 quả bóng màu xanh, 1 quả bóng màu vàng và 1 quả bóng màu đỏ. Trong các hoạt động sau, hoạt động nào là phép thử ngẫu nhiên? Hãy xác định không gian mẫu của phép thử ngẫu nhiên đó.
a) Lấy bất kì 1 quả bóng từ hộp.
b) Lấy đồng thời 3 quả bóng từ hộp.
c) Lấy lần lượt 3 quả bóng từ hộp một cách ngẫu nhiên.
Câu 5: Bạn Minh Hiền viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số.
a) Xác định không gian mẫu của phép thử.
b) Xác định các kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố sau:
A: "Số được viết là số tròn chục";
B: "Số được viết là số chính phương".
Câu 6: Bạn Trúc Linh giải một đề thi gồm có 3 Câu được đánh số 1; 2; 3. Trúc Linh được chọn lần lượt các Câu để giải theo một thứ tự ngẫu nhiên.
a) Xác định không gian mẫu của phép thử.
b) Xác định các kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố sau:
A: "Việt giải Câu 2 đầu tiên";
B: "Việt giải Câu 1 trước Câu 3".
Câu 7: Chọn ngẫu nhiên một gia đình có hai con và quan sát giới tính của hai người con đó.
a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?
b) Mô tả không gian mẫu của phép thử.
Câu 8: Một hộp đựng 5 tấm thẻ ghi các số 1,2,3,4,5. Rút ngẫu nhiên lần lượt hai tấm thẻ từ hộp, tấm thẻ rút ra lần đầu không trả lại vào hộp.
a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?
b) Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?
Câu 9: Xếp ngẫu nhiên ba bạn Mai, Việt, Lan trên một chiếc ghế dài.
a) Phép thử và kết quả của phép thử là?
b) Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?
Câu 10: Xét phép thử "Gieo ngẫu nhiên một đồng xu cân đối đồng chất liên tiếp hai lần"
a) Viết không gian mẫu của phép thử đó.
b) Gọi M là biến cố "Mặt ngửa xuất hiện đúng một lần". Hãy viết tập hợp mô tả biến cố M
c) Gọi E là biến cố "Mặt ngửa xuất hiện ít nhất một lần". Hãy viết tập hợp mô tả biến cố E
Câu 11: Xét phép thử "Gieo ngẫu nhiên một đồng xu cân đối đồng chất liên tiếp ba lần"
a) Viết không gian mẫu của phép thử đó.
b) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố sau:
A: "Kết quả ba lần gieo là như nhau"
B: "Mặt sấp xuất hiện ít nhất 2 lần".
C: "Lần đầu xuất hiện mặt ngửa"
D: "Mặt ngửa xảy ra đúng một lần".
Câu 12: Có hai nhóm học sinh: Nhóm I có ba học sinh nam: Minh, Lâm, Nguyên; nhóm II có ba học sinh nữ: Linh, Phương, Hà. Giáo viên chọn ngẫu nhiên một học sinh từ mỗi nhóm.
Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?
XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ LIÊN QUAN TỚI PHÉP THỬ
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức
Lý thuyết
❶. Xác suất của biến cố
Giả thiết rằng các kết quả có thể xảy ra của một phép thử là đồng khả năng.
Khi đó, xác suất của biến cố \(A\), ký hiệu \(P(A)\), bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) và tổng số kết quả có thể xảy ra.
\(P(A) = \dfrac{\text{Số kết quả thuận lợi cho biến cố }A}{\text{Tổng số kết quả có thể xảy ra}}\)
Ⓑ. Phân dạng toán
⬩Dạng ❶: Xác suất của biến cố
Ví dụ minh họa:
Ví dụ ① Các kết quả của một phép thử sau có cùng khả năng xảy ra không? Tại sao?
a) Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất.
b) Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ một hộp có 10 viên bi giống nhau được đánh số từ 1 đến 10.
c) Lấy ngẫu nhiên 1 tấm thẻ từ một hộp chứa 2 tấm thẻ ghi số 5 và 5 tấm thẻ ghi số 2 và xem số của nó.
Ví dụ ② Kết quả của mỗi phép thử sau có đồng khả năng không? Tại sao?
a) Rút ngẫu nhiên 1 tấm thẻ từ 10 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 10.
b) Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh từ danh sách lớp.
c) Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ một hộp chứa 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ và 8 viên bi trắng rồi quan sát màu của nó, biết rằng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng.
Ví dụ ③ Đội văn nghệ của lớp 9A có 3 bạn nam và 3 bạn nữ. Cô giáo phụ trách đội chọn ngẫu nhiên hai bạn để hát song ca. Xét biến cố sau: "Trong hai bạn được chọn ra, có một bạn nam và một bạn nữ".
Làm thế nào để tính được xác suất của biến cố ngẫu nhiên nói trên?
Ví dụ ④ Hình bên dưới mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm 12 phần bằng nhau và ghi các số 1, 2, 3,..., 12; chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa.
Xét phép thử "Quay đĩa tròn một lần".
a) Viết tập hợp \(\Omega\) gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số ghi ở hình quạt mà chiếc kim chỉ vào khi đĩa dừng lại.
b) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố A: "Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho 3".
c) Tìm tỉ số giữa các kết quả thuận lợi cho biến cố A và số phần tử của tập hợp \(\Omega\).
d) Tính xác suất của biến cố D: "Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số nguyên tố".
⬩Dạng ❷: Toán ứng dụng thực tế
Ví dụ minh họa:
Ví dụ ① Một đội thanh niên tình nguyện gồm 11 thành viên đến từ các tỉnh, TP: Kon Tum; Bình Phước; Tây Ninh; Bình Dương; Gia Lai; Bà Rịa – Vũng Tàu; Đồng Nai; Đăk Lăk; Đăk Nông; Lâm Đồng; TP Hồ Chí Minh, mỗi tỉnh,TP chỉ có đúng một thành viên trong đội. Chọn ngẫu nhiên một thành viên của đội tình nguyện đó.
a) Gọi K là tập hợp gồm các kết quả có thể xảy ra đối với thành viên được chọn. Tính số phần tử của tập hợp K.
b) Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
- "Thành viên được chọn ra đến từ vùng Tây Nguyên".
- "Thành viên được chọn ra đến từ vùng Đông Nam Bộ".
Ví dụ ② Màu hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: màu vàng và màu xanh. Có hai gene ứng với hai kiểu hình này là allele trội A và allele lặn a. Hình dạng hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: hạt tròn và hạt nhăn, có hai gene ứng với hai kiểu hình này allele trội B và allele lặn b.
Khi cho lai hai cây đậu Hà Lan, cây con lấy ngẫu nhiên một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ để hình thành một cặp gene. Phép thử là cho lai hai cây đậu Hà Lan, trong đó cây bố có kiểu gene là (AA, Bb), cây mẹ có kiểu gene là (Aa, Bb).
a) Hãy mô tả không gian mẫu của phép thử trên. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?
b) Hỏi xác suất để cây con có kiểu hình như cây bố và cây mẹ là bao nhiêu?
Ví dụ ③ Trong một cuộc tổng điều tra dân số, điều tra viên chọn ngẫu nhiên một gia đình có ba người con và quan sát giới tính của ba người con này.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Giả thiết rằng khả năng sinh con trai và khả năng sinh con gái là như nhau. Tính xác suất để gia đình đó có một con trai và hai con gái.
Ví dụ ④ Một trung tâm du học xuất khẩu ra nước ngoài gồm có 60 học sinh trong đó có 25 học sinh học tiếng Trung; 25 học sinh học tiếng Nhật; 7 học sinh học tiếng Hàn; 3 học sinh học cả tiếng Trung và tiếng Hàn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ trung tâm đó.
Tính xác suất của các biến cố sau:
a) "Học sinh được chọn học tiếng Trung".
b) "Học sinh được chọn học tiếng Nhật".
c) "Học sinh được chọn học tiếng Hàn".
d) "Học sinh được chọn học cả tiếng Trung và tiếng Hàn".
Ⓒ. Rèn luyện tự luận
Câu 1: Nền ẩm thực Việt Nam được đánh giá cao trên thế giới, thu hút nhiều người sành ăn trong nước và quốc tế. 16 món ngon đặc sản đến từ các tỉnh, thành phố được chọn ra như sau: cốm Vòng (Hà Nội), chả mực (Quảng Ninh), bánh đậu xanh (Hải Dương), bún cá cay (Hải Phòng), gà đồi Yên Thế (Bắc Giang), nộm da trâu (Sơn La), thắng cố (Lào Cai), miến lươn (Nghệ An), cơm hến (Huế), cá mực nhảy (Hà Tĩnh), bánh mì Hội An (Quảng Nam), sủi cảo (Thành phố Hồ Chí Minh), bánh canh Trảng Bàng (Tây Ninh), cá lóc nướng (Cần Thơ), cơm dừa (Bến Tre), gỏi cá (Kiên Giang).
Chọn ngẫu nhiên một trong 16 món ngon đó. Tính xác suất mỗi biến cố sau:
a) S: "Món ngon thuộc miền Bắc";
b) T: "Món ngon thuộc miền Trung";
c) U: "Món ngon thuộc miền Nam".
Câu 2: Một hộp có 20 viên bi với kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Ngân viết lên các viên bi đó các số 1, 2, 3,..., 20; hai viên bi khác nhau thì viết hai số khác nhau.
Xét phép thử "Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp".
a) Liệt kê các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên viên bi được lấy ra.
b) Viết không gian mẫu phép thử đó.
c) Tính xác suất biến cố: "Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia 7 dư 1".
Câu 3: Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên lớn hơn 499 và nhỏ hơn 1000.
a) Có tất cả bao nhiêu kết quả có thể xảy ra trong phép thử trên?
b) Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
A: "Số tự nhiên viết ra chia hết cho 100";
B: "Số tự nhiên viết ra là lập phương của một số tự nhiên".
Câu 4: Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3,..., 52; hai thẻ khác nhau thì ghi số khác nhau.
Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất các biến cố sau:
a) "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số nhỏ hơn 27".
b) "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số lớn hơn 19 và nhỏ hơn 51".
Câu 5: Nhóm học sinh tình nguyện khối 9 của một trường trung học cơ sở có 6 bạn, trong đó có 3 bạn nam là: Trung (lớp 9A); Quy (lớp 9A); Việt (lớp 9C) và 3 bạn nữ là: An (lớp 9A); Châu (lớp 9B); Hương (lớp 9D). Chọn ngẫu nhiên một bạn trong nhóm đó để tham gia hoạt động tình nguyện của trường.
a) Liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra trong phép thử trên. Có tất cả bao nhiêu kết quả có thể xảy ra.
b) Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
A: "Bạn được chọn là bạn nữ";
B: "Bạn được chọn thuộc lớp 9A".
Câu 6: Trên mặt phẳng cho năm điểm phân biệt A, B, C, D, E, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Hai điểm A, B được tô màu đỏ, ba điểm C, D, E được tô màu xanh. Bạn Châu chọn ra ngẫu nhiên một điểm tô màu đỏ và một điểm tô màu xanh (trong năm điểm đó) để nối thành một đoạn thẳng.
a) Liệt kê các cách chọn mà bạn Châu thực hiện.
b) Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
P: "Trong hai điểm chọn ra, có điểm A";
Q: "Trong hai điểm chọn ra, không có điểm C".
Câu 7: Một bó hoa gồm 3 bông hoa màu đỏ và 1 bông hoa màu vàng. Bạn Trúc Linh chọn ngẫu nhiên 2 bông hoa từ bó hoa đó.
a) Liệt kê các cách chọn mà bạn Trúc Linh thực hiện.
b) Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
R: "Trong 2 bông hoa được chọn, có đúng 1 bông hoa màu đỏ";
T: "Trong 2 bông hoa được chọn, có ít nhất 1 bông hoa màu đỏ".
Câu 8: Bạn Tùng gieo một con xúc xắc liên tiếp hai lần. Xét các biến cố sau:
E: "Cả hai lần gieo con xúc xắc đều xuất hiện mặt có số chấm là số nguyên tố"
F: "Cả hai lần gieo con xúc xắc đều không xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn"
a) Phép thử là gì?
b) Giả sử số chấm xuất hiện trên con xúc xắc trong lần gieo thứ nhất, thứ hai tương ứng là 2 và 5 chấm. Khi đó, biến cố nào xảy ra? Biến cố nào không xảy ra?
Câu 9: Bạn Hoàng lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ một túi đựng hai quả cầu gồm một quả màu đen và một quả màu trắng, có cùng khối lượng và kích thước. Bạn Hải rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ một hộp đựng 3 tấm thẻ A, B, C.
a) Mô tả không gian mẫu của phép thử.
b) Xét các biến cố sau:
E: "Bạn Hoàng lấy được quả cầu màu đen"
F: "Bạn Hoàng lấy được quả cầu màu trắng và bạn Hải không rút được tấm thẻ A".
Hãy mô tả các kết quả thuận lợi cho hai biến cố E và F.
Câu 10: Bạn An gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Bạn Trung tung một đồng xu cân đối và đồng chất. So sánh khả năng xảy ra của các biến cố sau:
A: "An gieo được mặt có chẵn chấm";
B: "An gieo được mặt có 2 chấm";
C: "Trung tung được mặt sấp".
Câu 11: Một hộp chứa 4 tấm thẻ cùng loại được đánh số 1; 4; 7; 9. Bạn Khuê và bạn Hương lần lượt mỗi người lấy ra 1 tấm thẻ từ hộp. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
A: "Tích các số ghi trên 2 tấm thẻ là số lẻ";
B: "Tổng các số ghi trên 2 tấm thẻ là số lẻ";
C: "Số ghi trên tấm thẻ của bạn Khuê nhỏ hơn số ghi trên tấm thẻ của bạn Hương".
Câu 12: Bạn Thắng có n tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến n. Bạn Thắng rút ngẫu nhiên 1 tấm thẻ. Biết rằng xác suất của biến cố "Lấy được tấm thẻ ghi số có một chữ số" là 0,18. Hỏi bạn Thắng có bao nhiêu tấm thẻ?
Câu 13: Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét hai biến cố sau:
A: "Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm";
B: "Tổng số chấm trên hai con xúc xắc lớn hơn 8".
Biến cố nào có khả năng xảy ra cao hơn?
Câu 14: Một chiếc hộp có chứa 5 tấm thẻ cùng loại, được đánh số lần lượt là 3; 5; 6; 7; 9.
Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 tấm thẻ từ hộp.
a) Xác định không gian mẫu và số kết quả có thể xảy ra của phép thử.
b) Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
A: "Tích các số ghi trên 2 tấm thẻ chia hết cho 3";
B: "Tổng các số ghi trên 2 tấm thẻ lớn hơn 13";
Câu 15: Một chiếc hộp chứa 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ và 1 viên bi trắng. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Dung lần lượt lấy ra ngẫu nhiên từng viên bi từ trong hộp cho đến khi hết bi.
a) Xác định không gian mẫu của phép thử.
b) Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
A: "Viên bi màu xanh được lấy ra cuối cùng";
B: "Viên bi màu trắng được lấy ra trước viên bi màu đỏ";
C: "Viên bi lấy ra đầu tiên không phải là bi màu trắng";
Câu 16: Một túi chứa 3 viên bi màu xanh và một số viên bi màu đỏ có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Luân lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi. Biết rằng xác suất của biến cố "Lấy được viên bi màu xanh" là 0,6. Hỏi trong túi có tổng bao nhiêu viên bi?
Câu 17: Cho hai túi I và II, mỗi túi chứa ba tấm thẻ được ghi các số 2; 3; 7. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi ra một tấm thẻ và ghép thành số có hai chữ số với chữ số trên tấm thẻ rút từ túi I là chữ số hàng chục.
Tính xác suất của các biến cố sau:
a) A: "Số tạo thành chia hết cho 4"
b) B: "Số tạo thành là số nguyên tố"
Câu 18: Chọn ngẫu nhiên một gia đình có hai con. Giả thiết rằng biến cố "Sinh con trai" và biến cố "Sinh con gái" là đồng khả năng. Tính xác suất của các biến cố sau:
A: "Gia đình đó có cả con trai và con gái"
B: "Gia đình đó có con trai"
Câu 19: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất I và II. Tính xác suất của các biến cố sau:
E: "Có đúng 1 con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm"
F: "Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm"
G: "Tích của hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 6"
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức
Lý thuyết
❶. Xác suất của biến cố đơn giản
4.1 Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
Có những phép thử mà tập hợp \(\Omega\) gồm các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó hoàn toàn xác định. Tuy nhiên, các kết quả xảy ra có tính ngẫu nhiên, ta không thể đoán trước được, những phép thử như thế gọi là phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) và tập hợp \(\Omega\) gọi là không gian mẫu của phép thử.
4.2 Xác suất của biến cố
Giả thiết rằng các kết quả có thể xảy ra của một phép thử là đồng khả năng.
Khi đó xác suất của biến cố A, ký hiệu là P(A), bằng tỉ số giữa kết quả thuận lợi cho biến cố A và tổng số kết quả có thể xảy ra.
\(P(A) = \dfrac{\text{Số kết quả thuận lợi cho A}}{\text{Tổng số kết quả có thể xảy ra}}\)
Để tính xác suất của biến cố A, ta có thể thực hiện các bước sau:
Bước 1: Kiểm tra tính đồng khả năng đối với các kết quả có thể xảy ra của phép thử
Bước 2: Đếm số kết quả có thể xảy ra, tức là đếm số phần tử của không gian mẫu \(\Omega\)
Bước 3: Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố A
Bước 4: Lập tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố A và tổng số kết quả có thể xảy ra.
Ⓑ. Rèn luyện tự luận
Câu 1: Một hộp kín đựng 4 quả bóng có cùng khối lượng là kích thước. Các quả bóng được đánh số 1; 2; 3; 4. Nam lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng từ hộp (quả bóng được lấy ra lần đầu được trả lại vào hộp). Nam quan sát và ghi lại hai số ghi trên quả bóng được lấy ra.
a) Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?
b) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố A: "Số trên hai quả bóng được lấy ra giống nhau".
c) Tính xác suất của biến cố B: "Tổng hai số trên hai quả bóng được lấy ra bằng 6".
Câu 2: Đội văn nghệ lớp 9A gồm 2 bạn nam là: Hùng, Bình và 3 bạn nữ là: Nga, Thảo, Mai. Cô giáo phụ trách đội văn nghệ chọn ngẫu nhiên hai bạn để hát song ca.
a) Liệt kê các cách chọn ngẫu nhiên hai bạn để hát song ca.
b) Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
i. A: "Trong hai bạn được chọn có cả nam và nữ".
ii. B: "Trong hai bạn được chọn, có bạn Nga".
iii. C: "Trong hai bạn được chọn có ít nhất một bạn nam".
Câu 3: Bình tung một đồng tiền xu có hai mặt sấp (S) và ngửa (N) liên tiếp ba lần, sau mỗi lần tung Bình đều ghi lại mặt xuất hiện.
a) Liệt kê các kết quả có thể xảy ra.
b) Tính xác suất của các biến cố sau:
i. A: "Mặt sấp xuất hiện đúng một lần".
ii. B: "Mặt sấp xuất hiện nhiều hơn mặt ngửa".
iii. C: "Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần".
Câu 4: Một hộp có 20 thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1; 2; 3; 4; 5; …; 20, hai thẻ khác nhau thì ghi số khác nhau.
Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
a) "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có chữ số tận cùng là 2".
b) "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có một chữ số".
c) "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có hai chữ số với tích các chữ số bằng 4".
Câu 5: Hình bên mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm tám phần bằng nhau và ghi các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8. Chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa. Quay đĩa tròn một lần.
Tính xác suất của các biến cố sau:
a) "Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số nhỏ hơn 3".
b) "Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số nhỏ hơn 5".
c) "Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số là ước của 6".
Câu 6: Bạn An gieo một đồng xu cân đối và bạn Bình rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp chứa 5 tấm thẻ ghi các số 1, 2, 3, 4, 5. Tính xác suất của các biến cố sau:
E: "Rút được tấm thẻ ghi số lẻ"
F: "Rút được tấm thẻ ghi số chẵn và đồng xu xuất hiện mặt sấp"
G: "Rút được tấm thẻ ghi số 5 hoặc đồng xu xuất hiện mặt ngửa"
Câu 7: Có hai túi I và II mỗi túi chứa 4 tấm thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi ra một tấm thẻ và nhân hai số ghi trên tấm thẻ với nhau. Tính xác suất của các biến cố sau:
A: "Kết quả là một số lẻ"
B: "Kết quả là 1 hoặc một số nguyên tố"
Câu 8: Có hai túi đựng các tấm thẻ. Túi I đựng 4 tấm thẻ ghi các chữ cái TT, TH, HT và HH. Túi II đựng 2 tấm thẻ ghi các chữ cái T và H.
Từ mỗi túi rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ rồi ghép hai thẻ lại với nhau để được ba chữ cái, trong đó thẻ hai chữ cái đặt trước, chẳng hạn tấm thẻ TT ghép với tấm thẻ H được ba chữ cái TTH. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) E: "Trong ba chữ cái, có hai chữ H và một chữ T"
b) F: "Trong ba chữ cái, có nhiều nhất hai chữ T"
Câu 9: Gieo đồng thời hai con xúc sắc cân đối đồng chất I và II. Tính xác suất của các biến cố sau:
G: "Không có con xúc xắc nào xuất hiện mặt 6 chấm"
H: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc I là số lẻ và số chấm xuất hiện trên con xúc xắc II lớn hơn 4"
K: "Số chấm xuất hiện trên cả hai con xúc xắc lớn hơn 2"
Câu 10: Trên một dãy phố có ba quán ăn A, B, C. Hai bạn Văn và Hải mỗi người chọn ngẫu nhiên một quán ăn để ăn trưa.
a) Mô tả không gian mẫu của phép thử.
b) Tính xác suất của các biến cố sau:
E: "Hai bạn cùng vào một quán"
F: "Cả hai bạn không chọn quán C"
G: "Có ít nhất một bạn chọn quán B"
Câu 11: Mỗi nhân viên của một công ty làm biệc ở một trong năm bộ phận của công ty đó là: Hành chính – Nhân sự; Truyền thông – Quảng cáo; Kinh doanh; Sản xuất; Dịch vụ.
Biểu đồ hình quạt tròn trong Hình 29 thống kê tỉ lệ nhân viên thuộc mỗi bộ phận.
Chọn ngẫu nhiên một nhân viên của công ty. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
A: "Nhân viên được chọn thuộc bộ phận Kinh doanh";
B: "Nhân viên được chọn không thuộc bộ phân Hành chính – Nhân sự hay Dịch vụ".
Câu 12: Biểu đồ cột kép ở Hình 30 biểu diễn số lượng học sinh tham gia giải thi đấu thể thao của một trường trung học cơ sở.
Chọn ngẫu nhiên một học sinh tham gia giải thi đấu thể thao của trường đó. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
A: "Học sinh được chọn là nam";
B: "Học sinh được chọn thuộc khối 6";
C: "Học sinh được là nữ và không thuộc khối 9".
Câu 13: Trong một kì thi học sinh giỏi Toán, tỉ lệ học sinh đạt giải là 35%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh đã tham gia kì thi đó. Tính xác suất của biến cố: "Học sinh được chọn đạt giải"
Câu 14: Có hai túi I và II. Túi I chứa 3 tấm thẻ, đánh số 2, 3, 4. Túi II chứa 2 tấm thẻ, đánh số 5, 6. Từ mỗi túi I và II, rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Tính xác suất của các biến cố sau:
A: "Hai số ghi trên hai tấm thẻ chênh nhau 2 đơn vị"
B: "Hai số ghi trên hai tấm thẻ chênh nhau lớn hơn 2 đơn vị"
C: "Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn"
D: "Tổng hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số nguyên tố"
Câu 15: Hai bạn Minh và Huy chơi một trò chơi như sau: Minh chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp{5; 6; 7; 8; 9; 10}; Huy chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp{4; 5; 7; 8; 9; 11}. Bạn nào chọn được số lớn hơn sẽ là người thắng cuộc. Nếu hai số chọn được bằng nhau thì kết quả là hòa. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) A: "Bạn Minh thắng"
b) B: "Bạn Huy thắng"
Câu 16: Xét phép thử: "Gieo một đồng tiền xu cân đối và đồng chất liên tiếp 3 lần."
Gọi A là biến cố "có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp". Tính xác suất của biến cố A.
Câu 17: Xét phép thử: "Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối và đồng chất". Tính xác suất của các biến cố sau:
a) A = {Tổng số chấm trên hai mặt bằng 11}
b) B = {Kết quả sau hai lần gieo là như nhau}
c) C = {Tổng số chấm trên hai mặt bằng 7}
Câu 18: Xét phép thử: "Rút ra một lá Cầu từ bộ Cầu 52 lá". Tính xác suất của các biến cố sau:
a) A= {Rút được lá bích}
b) B = {Rút được lá K}
c) C= {Rút được lá K bích}
Câu 19: Hộp thứ nhất đựng 1 thẻ xanh, 1 thẻ đỏ và 1 thẻ vàng. Hộp thứ hai đựng 1 thẻ xanh, 1 thẻ đỏ. Các tấm thẻ có kích thước có khối lượng như nhau. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ
a) Liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra.
b) Tính xác suất của biến cố "Trong 2 thẻ lấy ra có ít nhất 1 thẻ màu xanh"
Câu 20: Phần thưởng trong một chương trình khuyến mãi của một cửa hàng là: ti vi, bàn ghế, tủ lạnh, máy tính, bếp từ, bộ bát đĩa. Bác Hoa tham gia chương trình được chọn ngẫu nhiên một mặt hàng.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Gọi A là biến cố: "Bác Hoa chọn được mặt hàng là đồ điện". Hỏi A là tập con nào của không gian mẫu?