1.3. Chủ đề 3 - Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
TT - 3. Phương trình bậc hai một ẩn, định lý Vièet
 
A. Tóm tắt kiến thức
 
1. Hệ thức Vi-ét
 
Phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thì: \(\left\{ \begin{gathered}  {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} \hfill \\  {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} \hfill \\\end{gathered}  \right.\)
 
Đảo lại nếu hai số \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\) và \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}\) thì \(x_1, x_2\) là nghiệm của phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) (điều kiện \(a \neq 0\)).
 
2. Nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai
Xét phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\)
- Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình có hai nghiệm là \(x_1 = 1\) và \(x_2 = \dfrac{c}{a}\)
- Nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình có hai nghiệm là \(x_1 = -1\) và \(x_2 = -\dfrac{c}{a}\)
 
3. Tìm hai số biết tổng và tích
Nếu hai số có tổng bằng \(S\) và tích bằng \(P\) thì hai số đó là nghiệm của phương trình: \(x^2 - Sx + P = 0\)
Điều kiện để có hai số đó là \(\Delta = S^2 - 4P \geq 0\)
Chú ý: Trước khi sử dụng định lý Viết, chúng ta cần kiểm tra điều kiện phương trình có nghiệm, nghĩa là \(\Delta \geq 0\).
 
B. Phân dạng toán
Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức đối xứng
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1:
Biết phương trình \(3x^2 - 5x + 2 = 0\) có hai nghiệm là \(x_1, x_2\). Không giải phương trình, hãy tính tổng \(x_1 + x_2\) và tích \(x_1 \cdot x_2\).
Ví dụ 2:
Giả sử \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(x^2 - 5x + 6 = 0\). Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(x_1^2 + x_2^2\);           b) \(x_1^3 + x_2^3\);          c) \(\dfrac{1}{{x_1^4}} + \dfrac{1}{{x_2^4}}\);          d) \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right|\)
Ví dụ 3:
Cho phương trình \(3x^2 - 2x - 1 = 0\). Với \(x_1, x_2\) là nghiệm của phương trình, không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(x_1^2 + x_2^2 + x_1 \cdot x_2\);          b) \(\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1}\);          c) \(\dfrac{x_1^2}{x_2} + \dfrac{x_2^2}{x_1}\);          d) \(x_1^3 + x_2^3\)
Ví dụ 4:
Biết rằng phương trình \(x^2 + px + q = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\). Tính giá trị của biểu thức \(S = \dfrac{x_1^3 + x_2^3}{x_1 + x_2}\).
Dạng 2: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1:
Giải các phương trình sau:
a) \(2x^2 + 3x + 1 = 0\);          b) \(3x^2 - 2x - 1 = 0\);          c) \(2x^2 - 5x - 3 = 0\)
Ví dụ 2:
Giải các phương trình sau:
a) \(x^2 - 3x + 2 = 0\);          b) \(2x^2 + 5x - 3 = 0\);          c) \(x^2 - x - 6 = 0\)
Ví dụ 3:
Xét tổng \(a + b + c = 0\) hoặc \(a - b + c = 0\) rồi tính nhẩm các nghiệm của các phương trình sau:
a) \(2x^2 - 5x + 3 = 0\);          b) \(3x^2 + 7x + 4 = 0\);          c) \(3x^2 - 5x + 2 = 0\);          d) \(x^2 + 3x - 4 = 0\)
Ví dụ 4:
Xét tổng \(a + b + c = 0\) hoặc \(a - b + c = 0\) rồi tính nhẩm các nghiệm của các phương trình sau:
a) \(3x^2 - 4x + 1 = 0\);          b) \(2x^2 + 3x + 1 = 0\);          c) \(3x^2 - 2x - 1 = 0\);          d) \(4x^2 - 8x + 3 = 0\)
 
Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích
Ví dụ 1:
Tìm hai số \(x\) và \(y\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(x + y = 7, x \cdot y = 12\)             b) \(x + y = -3, x \cdot y = -10\)
Ví dụ 2:
Tìm phương trình bậc hai biết nó nhận \(2\) và \(-3\) là nghiệm.
Ví dụ 3:
Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình: \(x^2 - 3x + 2 = 0\). Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:
a) \(x_1^2, x_2^2\)   
b) \(\dfrac{1}{x_1}, \dfrac{1}{x_2}\)   
c) \(2x_1, 2x_2\)   
d) \(x_1 + 1, x_2 + 1\)
Ví dụ 4:
Tìm hai số biết:
a) Tổng bằng 4 và tích bằng 1   b) Tổng bằng 6 và tích bằng 9

Dạng 4: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1:
Không giải phương trình, cho biết dấu các nghiệm của các phương trình sau:
a) \(x^2 - 2x + 2 = 0\);          b) \(3x^2 + 2x - 1 = 0\);          c) \(2x^2 - 3x - 2 = 0\)
Ví dụ 2:
Cho phương trình \(mx^2 + (m-1)x + 2 = 0\) (m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
Ví dụ 3:
Cho phương trình \(x^2 + mx + 1 = 0\), với \(m\) là tham số. Xác định các giá trị của \(m\) để phương trình có:
a) Nghiệm bằng \(1\).
b) Hai nghiệm phân biệt trái dấu.
c) Hai nghiệm phân biệt cùng dương.
Ví dụ 4:
Cho phương trình \(x^2 + mx + 1 = 0\), với \(m\) là tham số. Xác định các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1 \cdot x_2 > 0\).

Dạng 5: xác định điều kiện tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1:
Cho phương trình \(x^2 + mx + 1 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1 + x_2 < 0\).
Ví dụ 2:
Cho phương trình: \(ax^2 + (a-1)x - 1 = 0\) (\(a\) là ẩn số, \(m\) là tham số). Tìm \(a\) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1 \cdot x_2 < 0\).
Ví dụ 3:
Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình: \(x^2 + mx + m - 2 = 0\) có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn: \(x_1 \cdot x_2 > 2\).
Ví dụ 4:
Cho phương trình \(x^2 + (m-2)x - (2m-1) = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) (với \(x_1 < x_2\)) thỏa mãn: \(x_1 \cdot x_2 < 0\).
Dạng 6: Xác định điều kiện tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện liên quan giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1:
Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình: \(x^2 - (3m + 1)x + 3m = 0\), với m là tham số. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(S = x_1^2 + x_2^2\).
Ví dụ 2:
Cho phương trình \(x^2 + (m-1)x - m = 0\) (1), với \(m\) là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi \(m = 0\).
b) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \(x_1, x_2\) sao cho biểu thức \(S = x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2\) đạt giá trị lớn nhất.
Ví dụ 3:
Cho phương trình (ẩn x) \(x^2 + 2mx + m^2 + 3 = 0\)
a) Giải phương trình khi \(m = 0\).
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm \(x_1, x_2\) sao cho biểu thức
\(S = \dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 4:
Cho phương trình \(x^2 + mx - (m^2 - 2m) = 0\), với \(m \neq 0\) là tham số.
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi \(m \neq 0\).
b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là \(x_1, x_2\). Tìm \(m\) để biểu thức
\(P = x_1^2 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2^2\) đạt giá trị lớn nhất.
Dạng 7: Sự tương giao của hai đồ thị chứa tham số liên quan vi-et
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1:
Cho Parabol \((P): y = x^2 - 2x + 1\) và đường thẳng \((d): y = mx\)
a) Tìm giá trị của \(m\) để đường thẳng \((d)\) cắt trục tung tại điểm có tọa độ \((0;1)\)
b) Chứng minh rằng với mọi \(m \neq 0\), đường thẳng \((d)\) luôn cắt Parabol \((P)\) tại hai điểm phân biệt \(A, B\). Giả sử \(A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)\), tìm \(m\) để \(x_1 + x_2 = 1\).
Ví dụ 2:
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \((P)\): \(y = x^2 - 4x + 4\) và đường thẳng \((d): y = mx + (2-m)\), trong đó \(m\) là tham số.
a) Với \(m = 1\), tìm tọa độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\).
b) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để đường thẳng (d) cắt parabol \((P)\) tại hai điểm phận biệt có hoành độ \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1 \cdot x_2 = 1 + m\).

Ví dụ 3:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho parabol \((P): y = x^2\) và đường thẳng \((d): y = x + m\)

a) Chứng minh \((d)\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt

b) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1 \cdot x_2 = 1\)

Ví dụ 4:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho hàm số \(f(x) = x^2\) có đồ thị \((P)\) và hàm số \(g(x) = (m-1)x + 2\) có đồ thị là đường thẳng \((d)\) với \(m\) là tham số.

a) Vẽ đồ thị \((P)\)

b) Tìm \(m\) để đường thẳng \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1 \cdot x_2 = 2\)

Dạng 8: Toán ứng dụng thực tế

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Bác Long có 48 mét lưới thép. Bác muốn dùng để rào xung quanh một mảnh đất trống (đủ rộng) thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.

a) Biết diện tích của mảnh vườn là 108𝑚², hãy tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

b) Hỏi diện tích lớn nhất của mảnh vườn mà bác Long có thể rào được là bao nhiêu mét vuông?

Ví dụ 2:

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 144 m, diện tích 1040 m². Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Ví dụ 3:

Một bác thợ cắt vừa đủ một cây sắt thành các đoạn để hàn lại thành khung của một hình lập phương có cạnh là \(x\) (m) và một hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng chiều cao là \(y\) (m), chiều dài gấp 5 lần chiều rộng. Tìm độ dài cây sắt, biết \(x < y\); \(x + y = 0,5\) và \(xy = 0,06\).

Ví dụ 4:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng \(x(m)\), chiều dài gấp rưỡi chiều rộng. Người ta đã làm một vườn hoa ở trung tâm mảnh đất với diện tích bằng 640 m² và làm một con đường rộng 2 m xung quanh vườn hoa đó (Hình 10). Hỏi chu vi của mảnh đất đó bằng bao nhiêu mét?

C. Rèn luyện tự luận

Câu 1: Cho phương trình: \(2x^2 - 4x - 3 = 0\) có hai nghiệm là \(x_1, x_2\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: \(A = (x_1 - x_2)^2\).

Câu 2: Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình: \(x^2 - 4x - 7 = 0\). Tính giá trị của biểu thức \(T = \dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} - 2\)

Câu 3: Cho phương trình \(x^2 + 5x - 4 = 0\). Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức \(Q = x_1^2 + x_2^2 + 6x_1x_2\).

Câu 4: Cho phương trình \(x^2 - x - 3 = 0\) có hai nghiệm \(x_1, x_2\), giá trị của biểu thức \(A = \dfrac{x_1 + x_2}{5x_1x_2}\) bằng bao nhiêu?

Câu 5: Cho phương trình \(x^2 + 3x - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(T = \dfrac{3x_1^2-x_2^2}{x_1^2x_2+x_1x_2^2}\).

Câu 6: Cho phương trình \(x^2 - 12x + 4 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \(x_1, x_2\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(T = \dfrac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 + x_2}\)

Câu 7: Giả sử \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình: \(x^2 - 5x - 1 = 0\). Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(A = x_1^2 + x_2^2 - x_1 - x_2\)

b) \(B = x_1^4 + x_2^4\)

c) \(C = \dfrac{1}{x_1^3} + \dfrac{1}{x_2^3}\)

d) \(D = x_1 - x_2\)

Câu 8: Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(x^2 - 3x - 1 = 0\). Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(A = x_1^2 + x_2^2\) b) \(B = x_1^3(x_1 - 1) + x_2^3(x_2 - x_1)\) c) \(C = \dfrac{1}{x_1^2} - \dfrac{1}{x_2^2}\)

Câu 9: Cho phương trình \(x^2 - mx - 1 = 0\) (1) (\(x\) là ẩn số)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu

b) Gọi \(x_1, x_2\) là các nghiệm của phương trình (1). Tính giá trị của biểu thức

\(A = \dfrac{x_1^2 + x_1 - 1}{x_1} - \dfrac{x_2^2 + x_2 - 1}{x_2}\)

Câu 10: Cho phương trình \(x^2 - 2(m+1)x + 2m - 2 = 0\) (\(x\) là ẩn số) (1)

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Gọi hai nghiệm của (1) là \(x_1, x_2\). Tính theo m giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 + 2(m+1)x_2 + 2m - 2\)

Câu 11: Gọi \(x_1, x_2\) là các nghiệm của phương trình \(x^2 + 2024x + 2 = 0\) và \(x_3, x_4\) là các nghiệm của phương trình \(x^2 + 2025x + 2 = 0\). Tính \(A = (x_1 + x_3)(x_2 - x_3)(x_1 + x_4)(x_2 - x_4)\)

Câu 12: Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(x^2 - x - 1 = 0\). Không giải phương trình, chứng minh rằng \(P(x_1) = P(x_2)\) với \(P(x) = 3x^3 - 33x + 25\)

Câu 13: Cho phương trình \(x^2 - 2(m-2)x + 2m - 5 = 0\) (\(m\) là tham số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\)

b) Với m vừa tìm được ở trên, tìm biểu thức liên hệ giữa \(x_1, x_2\) không phụ thuộc vào m

Câu 14: Cho phương trình \(x^2 + (m+2)x + 2m = 0\). Với giá trị nào của tham số m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\)? Khi đó, hãy tìm biểu thức liên hệ giữa \(x_1, x_2\) không phụ thuộc vào tham số m.

Câu 15: Cho phương trình \((m-2)x^2 - (2m+5)x + m+7 = 0\) với m là tham số

a) Chứng minh phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

b) Tìm các nghiệm của phương trình đã cho theo tham số m

Câu 16: Cho phương trình \((2m-1)x^2 - (m-3)x - 6m - 2 = 0\) với m là tham số

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm \(x = -2\)

b) Tìm các nghiệm của phương trình đã cho theo tham số m.

Câu 17: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(2+\sqrt{3}\) và \(2-\sqrt{3}\)

Câu 18: Cho phương trình \(x^2 + 5x - 3m = 0\) (m là tham số)

a) Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm là \(x_1\) và \(x_2\)

b) Với điều kiện m tìm được ở câu a), hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\dfrac{2}{x_1^2}\) và \(\dfrac{2}{x_2^2}\)

Câu 19: Cho phương trình \(3x^2 + 5x - m = 0\) (m là tham số)

a) Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm là \(x_1\) và \(x_2\)

b) Với điều kiện m tìm được ở câu a) hãy viết phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\dfrac{x_1}{x_2+1}\) và \(\dfrac{x_2}{x_1+1}\)

Câu 20: Tìm hai số x và y, biết:

a) Tổng của chúng bằng 4 và tổng bình phương bằng 10

b) Tổng của chúng bằng 3 và tổng lập phương bằng 9

c) Tích của chúng bằng 2 và tổng lập phương bằng –9

d) Tích của chúng bằng -2, tổng lập phương bằng -7

Câu 21: Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(x^2 - 4x + 1 = 0\). Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

a) \(3x_1 - 2x_2; 3x_2 - 2x_1\)   b) \(x_1^2 - x_2; x_2^2 - x_1\)

c) \(\dfrac{x_1}{x_2+1}; \dfrac{x_2}{x_1+1}\)   d) \(\dfrac{x_2^2 + x_1}{x_1}; \dfrac{x_1^2 + x_2}{x_2}\)

e) \(x_2^2 + 5x_1 + 1; x_1^2 + 5x_2 + 1\)   f) \(2x_1 - x_2; 2x_2 - x_1\)

Câu 22: Cho \(a = 11 + 6\sqrt{2}\), \(b = 11 - 6\sqrt{2}\). Chứng minh rằng a, b là hai nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số nguyên

Câu 23: Cho \(c = 3\sqrt[3]{3}+10\), \(d = 3\sqrt[3]{3}-10\). Chứng minh rằng \(c^2, d^2\) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số nguyên.

Câu 24: Cho a và b là hai số thỏa mãn đẳng thức \(a^2 + b^2 + 3ab - 8a - 8b - 2\sqrt{3ab} + 19 = 0\)

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm a và b.

Câu 25: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:

a) \(x^2 - 2(m-1)x + m+1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

b) \(x^2 - 8x + 2m+6 = 0\) có hai nghiệm phân biệt

c) \(x^2 - 6x + 2m+1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dương

d) \(x^2 - 2(m-1)x - 3-m = 0\) có đúng một nghiệm dương

Câu 26: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:

a) \(2x^2 - 3(m+1)x + m^2-m-2 = 0\) có hai nghiệm trái dấu.

b) \(3mx^2 + 2(2m+1)x + m = 0\) có hai nghiệm âm

c) \(x^2 + mx + m-1 = 0\) có hai nghiệm lớn hơn m

d) \(mx^2 - 2(m-2)x + 3(m-2) = 0\) có hai nghiệm cùng dấu.

Câu 27: Cho phương trình \(x^2 - x + m = 0\)(1) (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) sao cho \(x_1 \cdot x_2 \geq 2\)

Câu 28: Cho phương trình \(x^2 - 4x + m - 1 = 0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm \(x_1; x_2\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 14\).

Câu 29: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(x^2 - 2mx + 4m - 4 = 0\) có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 - 8 = 0\).

Câu 30: Cho phương trình \(x^2 - 2x + m - 1 = 0\) (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn hệ thức \(x_1^4 - x_1^3 = x_2^4 - x_2^3\).

Câu 31: Cho phương trình \(x^2 - 2mx + 2m - 2 = 0\), với m là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1 + 3x_2 = 6\).

Câu 32: Cho phương trình \(x^2 - 2mx - 1 = 0\) (1) với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1 + x_2 - x_1x_2 = 7\)

Câu 33: Cho phương trình: \(x^2 - 3x + m = 0\) (1) (\(x\) là ẩn số).

a) Giải phương trình (1) khi \(m = 2\).

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm.

c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn đẳng thức:

\(x_1^3x_2 + x_1x_2^3 - 2x_1^2x_2^2 = 5\).

Câu 34: Cho phương trình: \(x^2 - (m+2)x + m+1 = 0\) (1)

a) Giải pt (1) với \(m=-3\).

b) Chứng tỏ pt (1) luôn có nghiệm với mọi số thực m.

c) Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt \(x_1; x_2\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là \(h = \dfrac{2}{5}\).

Câu 35: Cho phương trình \(x^2 - 2(m+1)x + m^2 = 0\) (m là tham số)

a) Giải phương trình với \(m = 1\).

b) Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn: \(x_1^2 + x_2^2 + 6 = 4x_1x_2\)

Câu 36: Cho phương trình \(x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2 = 0\) (1) (\(x\) là tham số, m là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi \(m = 1\)

b) Xác định các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn điều kiện: \(x_1^2 + 2(m+1)x_2 = 12m+2\)

Câu 37: Cho phương trình \(x^2 - 6x + m + 4 = 0\) (1) (m là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi \(m = 1\).

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(2020(x_1 + x_2) - 2021x_1x_2 = 2014\).

Câu 38: Cho phương trình (ẩn x): \(x^2 - 2(m+2)x + m^2 + 7 = 0\).

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b) Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm m để \(x_1^2 + x_2^2 = x_1x_2 + 12\).

Câu 39: Cho phương trình \(x^2 + 4(m-1)x - 12 = 0\) (*), với m là tham số.

a) Giải phương trình (*) khi \(m = 2\).

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(4^{x_1} - 2.4^{-mx_2} = (x_1 + x_2 - x_1x_2 - 8)^2\).

Câu 40: Cho phương trình \(x^2 - 2(m-1)x + m = 0\).(1) (m là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi \(m = 3\).

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = 4\).

Câu 41: Tìm các giá trị của m để phương trình \(x^2 - mx + m^2 - m - 3 = 0\) có hai nghiệm \(x_1, x_2\) là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông ABC, biết độ dài cạnh huyền BC = 2.


Câu 42: Cho phương trình \(x^2 - 2(m-1)x + 2m^2 - 3m + 1 = 0\), với m là tham số. Gọi \(x_1, x_2\) là nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng: \(x_1 + x_2 + x_1x_2 \leq \dfrac{9}{8}\).

Câu 43: Cho phương trình \(x^2 - (2m+1)x + m^2 + 1 = 0\), với m là tham số. tìm tất cả các giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) sao cho biểu thức \(P = \dfrac{x_1x_2}{x_1 + x_2}\) có giá trị là số nguyên.

Câu 44: Cho hàm số \(y = x^2\) và đường thẳng (d): \(y = -x-m+1\) (với m là tham số)

a) Vẽ parabol (P) là đồ thị của hàm số \(y = x^2\)

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1 - x_2 = 2\)

Câu 45: Cho Parabol (P): \(y = 2x^2\) và đường thẳng (d): \(y = -2x + m\) (với m là tham số).

a) Vẽ Parabol (P).

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1 + x_2 - 2x_1x_2 = 1\).

Câu 46: Cho Parabol P: \(y = x^2\) và đường thẳng d: \(y = 2x - m - 1\) (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt Parabol P tại hai điểm phân biệt A\((x_1; y_1)\) và B\((x_2; y_2)\) sao cho \(y_1 + y_2 + x_1^2 + x_2^2 = 110\).

Câu 47: Cho hàm số \(y = x^2\) có đồ thị (P).

a) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

b) Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (d): \(y = 2x + 5m\) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1.x_2^2 - x_1(5m + 3x_2) = 10115\).

Câu 48: Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi \(x_1, x_2\) lần lượt là hoành độ các điểm A, B. Tìm m để \(x_1, x_2\) là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 14

Câu 49: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): \(y = 2x-m+3\) (m là tham số) parapol (P): \(y = x^2\).

a) Vẽ đồ thị (P).

b) Tìm các số nguyên m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_1x_2\) thỏa mãn \(x_1^2x_2 - 2 = x_2^2x_1 - 2x_1 - 10\)

Câu 50: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): \(y = x^2\) và đường thẳng (d): \(y = mx + 3\) (m là tham số).

a) Vẽ parabol (P).

b) Khi \(m = 2\), tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán.

c) Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{3}{2}\).

Câu 51: Cho hàm số \(y = x^2\) có đồ thị (P).

a) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

b) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): \(y = 2x - 3m\) (với m là tham số) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là \(x_1, x_2\) thỏa mãn điều kiện \(x_1x_2^2 - x_2(3m + 2x_1) = 12\).

Câu 52: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số \(y = \dfrac{1}{2}x^2\) có đồ thị (P) và đường thẳng d có phương trình \(y = \dfrac{1}{2}x + m^2 + m + 1\), với m là tham số.

a) Vẽ đồ thị (P).

b) Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \(x_1, x_2\) sao cho \(x_1^3 + x_2^3 = 68\)

Câu 53: Cho hàm số \(y = 2x^2\) có đồ thị (P)

a) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ (Oxy)

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d): \(y = 2mx + 1\) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1 \neq x_2\) và \(x_2 - x_1 = 2025\).

Câu 54: Cho Parabol (P): \(y = x^2\) và đường thẳng (d): \(y = 3mx + 1 - m^2\) (m là tham số)

a) Tìm m để (d) đi qua điểm A(1; -9)

b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_1; x_2\) thỏa mãn \(x_1 + x_2 = 2x_1x_2\)

Câu 55: Cho parabol (P): \(y = x^2\) và đường thẳng d: \(y = 2x - m\) (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có A\((x_1, y_1)\), B\((x_2, y_2)\) sao cho \(y_1 + y_2 + x_1^2x_2^2 = 6(x_1 + x_2)\).

Câu 56: Cho Parabol (P): \(y = x^2\) và đường thẳng (d): \(y = (2m+1)x - 2m\) (m là tham số). Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A\((x_1, y_1)\); B\((x_2, y_2)\) sao cho \(y_1 + y_2 - x_1x_2 = 1\).

Câu 57: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parapol (P): \(y = x^2\) và đường thẳng (d): \(y = 2(m-1)x - m+3\). Gọi \(x_1, x_2\) lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parapol (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = x_1^2 + x_2^2\).

Câu 58: Cho phương trình \(x^2 - mx + m - 1 = 0\). Chứng minh phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào m. Tìm nghiệm còn lại.

Câu 59: Cho phương trình \(-x^2 + mx + m + 1 = 0\). Chứng minh phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào m. Tìm nghiệm còn lại.

Câu 60: Cho phương trình \(x^2 - (2m+2)x + 2m + 1 = 0\). Chứng minh phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào m. Tìm nghiệm còn lại.

Câu 61: Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình: \(x^2 + 5x - 2 = 0\). Không giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức sau:

a) \(A = \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}\)   b) \(B = x_1^2 + x_2^2\)   c) \(C = \dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2}\)

d) \(D = x_1^3 + x_2^3\)   e) \(E = \dfrac{1}{x_1^3} + \dfrac{1}{x_2^3}\)   f) \(F = x_1 - x_2\)

Câu 62: Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình: \(x^2 - 3x - 7 = 0\). Không giải phương trình, hãy tính các giá trị của các biểu thức sau:

a) \(M = x_1^4 + x_2^4\)   b) \(N = (3x_1 + x_2)(3x_2 + x_1)\)

Câu 63: Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình: \(3x^2 + 5x - 6 = 0\). Không giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức sau:

a) \(P = \dfrac{x_1 + 2}{x_1} + \dfrac{x_2 + 2}{x_2}\)   b) \(Q = \dfrac{x_2}{x_1-1} + \dfrac{x_1}{x_2-1}\)

Câu 64: Cho phương trình \(x^2 - 12x + 4 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \(x_1, x_2\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(P = \dfrac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 + x_2}\).

Câu 65: Cho phương trình \(x^2 + 3x - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(Q = \dfrac{3x_1^2 - x_2^2}{x_1^2x_2 + x_1x_2^2}\)

Câu 66: Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) \(u + v = 5\) và \(uv = -14\)

b) \(u + v = 5\) và \(uv = -24\)

c) \(u + v = -6\) và \(uv = -16\)

d) \(u + v = 1\) và \(uv = \dfrac{1}{4}\)

Câu 67: Tìm hai số a và b trong mỗi trường hợp sau:

a) \(a - b = 5\) và \(ab = 36\)

b) \(a + b = 9\) và \(a^2 + b^2 = 41\)

c) \(a^2 + b^2 = 61\) và \(ab = 30\)

Câu 68: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(2 + \sqrt{3}\) và \(2 - \sqrt{3}\).

Câu 69: Cho phương trình \(x^2 + 2x + 2m - 1 = 0\) (m là tham số). Tìm m để phương trình có nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn: \(x_1 - 2x_2 = 7\).

Câu 70: Cho phương trình: \(x^2 - 2x - 2m = 0\) (m là tham số). Tìm giá trị của m để hai nghiệm \(x_1; x_2\) của phương trình thỏa hệ thức \(x_1^2 = 4x_2^2\).

Câu 71: Cho phương trình \(x^2 - (2m+1)x + m^2 - 1 = 0\) (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm \(x_1; x_2\) thỏa mãn: \((x_1^2 - 2mx_1 + m^2)(x_2 + 1) = 1\)

Câu 72: Cho phương trình \(x^2 - x + m + 1 = 0\) (m là tham số). Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình, tìm các giá trị của m sao cho \(x_1^2 + x_1x_2 + 3x_2 = 7\).

Câu 73: Cho phương trình: \(x^2 - 2(m-7)x + m^2 - 4 = 0\) (m là tham số). Xác định m để phương trình:

a) Có hai nghiệm trái dấu.

b) Có hai nghiệm cùng dấu.

Câu 74: Cho phương trình \(2x^2 + (2m-1)x + m-1 = 0\) (m là tham số). Tìm điều kiện của m để phương trình:

a) Có hai nghiệm khác dấu

b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm

c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương

Câu 75: Cho phương trình \(x^2 - 2(m-1)x + 2m - 5 = 0\) (với m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?

Câu 76: Cho phương trình \(x^2 - 2(m-1)x + 2m - 3 = 0\) (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm \(x_1, x_2\) trái dấu.

Câu 77: Cho phương trình \(x^2 - 2(m-1)x - m = 0\) (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm \(x_1, x_2\) bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.

Câu 78: Cho phương trình \(x^2 + 2(m-1)x - (m+1) = 0\) (m là tham số). Tìm m để phương trình

a) Có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1.

b) Có hai nghiệm nhỏ hơn 2.

Câu 79: Cho phương trình \(2x^2 + (m^2-3)x - 4 = 0\) (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1 < 1 < x_2\)

Câu 80: Cho phương trình \(x^2 + mx + 1 = 0\) (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2.

Câu 81: Cho phương trình \(x^2 + mx + m - 1 = 0\) (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có ít nhất một nghiệm nhỏ hơn hoặc bằng -2

Câu 82: Cho phương trình \(x^2 + (m+2)x - m - 4 = 0\) (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1 < 0 < x_2\).

Câu 83: Cho phương trình \(x^2 - 2(m-1)x + 2m - 5 = 0\) (m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1 < -1 < x_2\)

Last modified: Wednesday, 7 May 2025, 1:26 PM