§1. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
§1. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
I. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH CÓ DẠNG \((ax + b)(cx + d) = 0 (a ≠ 0, c ≠ 0)\)
Để giải phương trình tích \((ax + b)(cx + d) = 0\) với \(a ≠ 0\) và \(c ≠ 0\), ta có thể làm như sau:
Bước 1. Giải hai phương trình bậc nhất: \(ax + b = 0\) và \(cx + d = 0\)
Bước 2. Kết luận nghiệm: Lấy tất cả các nghiệm của hai phương trình bậc nhất vừa giải được ở Bước 1.
Ví dụ 1 Giải phương trình:
\((x + 5)(3x - 9) = 0\).
Ví dụ 2 Giải các phương trình:
a) \((2x - 3)^2 = (x + 7)^2\); b) \(x^2 - 9 = 3(x + 3)\).
Ví dụ 3 Trong một khu đất có dạng hình vuông, người ta đánh một mảnh đất có dạng hình chữ nhật ở góc khu đất để làm bể bơi (Hình 1). Biết diện tích của bể bơi bằng 1 250 m².
Độ dài cạnh của khu đất bằng bao nhiều mét?
Thực hành 1. Giải phương trình: \((4x + 5)(3x - 2) = 0\).
Thực hành 2. Giải các phương trình:
a) \(x^2 - 10x + 25 = 5(x - 5)\);
b) \(4x^2 - 16 = 5(x + 2)\).
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Cho phương trình: \(\dfrac{x + 2}{x} = \dfrac{x - 3}{x - 2}\) (1)
Tìm điều kiện của x để cả hai mẫu thức có trong phương trình (1) là khác 0.
Phương trình (1) được gọi là phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Điều kiện \(x ≠ 0, x ≠ 2\) được gọi là điều kiện xác định của phương trình (1).
Trong phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 được gọi là điều kiện xác định của phương trình.
Ví dụ 4 Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:
a) \(\dfrac{2x + 1}{x - 2} = 5\); b) \(\dfrac{x}{5x - 3} = 1 + \dfrac{1}{x + 2}\).
Thực hành 3. Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:
\(\dfrac{x - 8}{x - 7} = 8 + \dfrac{1}{1 - x}\).
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta có thể làm như sau:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình
Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu
Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được
Bước 4. Kết luận nghiệm: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở Bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 5 Giải các phương trình:
a) \(\dfrac{x^2}{2 - x} + \dfrac{3x - 1}{3} = \dfrac{5}{3}\);
b) \(\dfrac{4}{x(x - 1)} + \dfrac{3}{x} = \dfrac{4}{x - 1}\).
Thực hành 4. Giải phương trình:
\(\dfrac{x}{x - 2} + \dfrac{1}{x - 3} = \dfrac{2}{(2 - x)(x - 3)}\).
Ví dụ 6 Hai bạn Phong và Khang cùng hẹn nhau đạp xe đến một địa điểm cách vị trí ban Phong 6 km và cách vị trí ban Khang 7 km. Hai bạn cùng xuất phát và đến địa điểm đã hẹn cùng một lúc. Tính tốc độ của mỗi bạn, biết tốc độ của ban Khang hơn tốc độ của ban Phong là 2 km/h.
Ví dụ 7 Biết nồng độ muối của nước biển là 3,5% và khối lượng riêng của nước biển là 1 020 g/l. Từ 2 l nước biển như thế, người ta hoá thêm muối để được một dung dịch có nồng độ muối là 20%. Tính lượng muối cần hoá thêm.
Thực hành 5. Một đội công nhân làm đường nhận nhiệm vụ phải làm 8 100 m mặt đường. Ở giai đoạn đầu, đội trái được 3 600 m² mặt đường. Ở giai đoạn 2, để đội công nhân làm xong suất thêm 300 m²/ngày rồi hoàn thành công việc. Hỏi đội công nhân hoàn thành công việc trong bao nhiều ngày? Biết năng suất lao động trung bình của đội công nhân ở giai đoạn và thời gian làm việc của hai giai đoạn là như nhau.
BÀI TẬP
1. Giải các phương trình:
a) \((9x - 4)(2x + 5) = 0\); b) \((1,3x + 0,26)(0,2x - 4) = 0\);
c) \(2x(x + 3) - 5(x + 3) = 0\); d) \(x^2 - 4 + (x + 2)(2x - 1) = 0\).
2. Giải các phương trình:
a) \(\dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{3(x + 2)}\); b) \(\dfrac{x}{2x - 1} = \dfrac{x - 2}{2x + 5}\);
c) \(\dfrac{5x}{x - 2} = 7 + \dfrac{10}{x - 2}\); d) \(\dfrac{x^2 - 6}{x} = x + \dfrac{3}{2}\).
3. Một ca nô đi xuôi dòng từ địa điểm A đến địa điểm B, rồi lại đi ngược dòng từ địa điểm B trở về địa điểm A. Thời gian cả đi và về là 3 giờ. Tính tốc độ của dòng nước. Biết tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là 27 km/h và độ dài quãng đường AB là 40 km.
4. Một doanh nghiệp sử dụng than để sản xuất sản phẩm. Doanh nghiệp đó lập kế hoạch tài chính cho việc loại bỏ chất ô nhiễm trong khí thải theo dự kiến sau: Để loại bỏ p% chất ô nhiễm trong khí thải thì chi phí C (triệu đồng) được tính theo công thức:
\(C = \dfrac{80}{100 - p}\) với \(0 ≤ p < 100\) (Nguồn: John W. Cell, Engineering Problems Illustrating Mathematics, McGraw-Hill Book Company, Inc. New York and London, năm 1943). Với chi phí là 420 triệu đồng thì doanh nghiệp loại bỏ được bao nhiều phần trăm chất gây ô nhiễm trong khí thải (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
5. Bạn Hoa dự định dùng hết số tiền 600 nghìn đồng để mua một số chiếc áo đồng giá tặng các bạn có hoàn cảnh khó khăn. Khi đến cửa hàng, loại áo mà bạn Hoa dự định mua được giảm giá 30 nghìn đồng/chiếc. Do vậy, bạn Hoa đã mua được số lượng áo gấp 1,25 lần so với số lượng dự định. Tính giá tiền của mỗi chiếc áo ban Hoa đã mua.
6. Một mảnh đất có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 52 m. Trên mảnh đất đó, người ta làm một vườn rau có dạng hình chữ nhật với diện tích là 112 m² và một lối đi xung quanh vườn rộng 1 m (Hình 2).
Tính các kích thước của mảnh đất đó.