Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Ví dụ: Cho phương trình \((x + 3)(2x - 5) = 0\). (1)
Phương trình (1) được gọi là phương trình tích.
Để giải phương trình (1), ta giải hai phương trình \(x + 3 = 0\) và \(2x - 5 = 0\), rồi lấy các nghiệm của hai phương trình này làm nghiệm của phương trình (1).
Tổng quát:
Muốn giải phương trình \((a₁x + b₁)(a₂x + b₂) = 0\), ta giải hai phương trình \(a₁x + b₁ = 0\) và \(a₂x + b₂ = 0\), rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.
Ví dụ 1. Giải các phương trình:
a) \(3x(x + 7) = 0\); b) \((x - 5)(2x - 4) = 0\).
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:
a) \(x^2 + 7x = 0\); b) \((3x + 2)^2 - 4x^2 = 0\).
Thực hành 1. Giải các phương trình:
a) \((x - 7)(5x + 4) = 0\); b) \((2x + 9)\left(\dfrac{2}{3}x - 5\right) = 0\).
Thực hành 2. Giải các phương trình:
a) \(2x(x + 6) + 5(x + 6) = 0\); b) \(x(3x + 5) - 6x - 10 = 0\).
2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Cho phương trình \(2x + \dfrac{1}{x - 2} = 4 - \dfrac{1}{x - 2}\) (1)
Trong phương trình (1) chứa ẩn trong mẫu thức của phân thức \(\dfrac{1}{x - 2}\) nên ta nói (1) là phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Điều kiện xác định của phân thức \(\dfrac{1}{x - 2}\) là \(x - 2 \neq 0\) hay \(x \neq 2\). Ta cũng nói \(x - 2 \neq 0\) hay \(x \neq 2\) là điều kiện xác định của phương trình (1).
Tổng quát, ta có định nghĩa:
Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện của ẩn sao cho các phân thức chứa trong phương trình đều xác định gọi là điều kiện xác định của phương trình.
Nhận xét:
a) Để tìm điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta đặt điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức chứa trong phương trình đều khác 0.
b) Những giá trị của ẩn không thỏa mãn điều kiện xác định thì không thể là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:
a) \(\dfrac{2x - 1}{x + 3} = 1\); b) \(\dfrac{-2x}{2x + 5} = \dfrac{1}{4 - x} - 1\).
Thực hành 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:
a) \(\dfrac{5}{x + 7} = \dfrac{-14}{x - 5}\); b) \(\dfrac{3}{3x - 2} = \dfrac{x}{x + 2} - 1\).
Tổng quát, ta có cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu như sau:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình, rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: Xét mỗi giá trị tìm được ở Bước 3, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định thì đó là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 4. Giải các phương trình:
a) \(\dfrac{x + 3}{x - 3} + \dfrac{x - 2}{x} = 2\); b) \(\dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{2}{x + 1} = \dfrac{2x + 5}{(x - 2)(x + 1)}\).
Thực hành 4. Giải các phương trình:
a) \(\dfrac{x + 6}{x + 5} + \dfrac{3}{2} = 2\); b) \(\dfrac{2}{x + 2} - \dfrac{3}{x + 3} = \dfrac{3x - 20}{(x + 3)(x - 2)}\).
Vận dụng 2. Hai thành phố A và B cách nhau 120 km. Một ô tô đi chuyển từ A đến B, rồi quay trở về A với tổng thời gian đi và về là 4 giờ 24 phút. Tính tốc độ lượt đi của ô tô, biết tốc độ lượt về lớn hơn tốc độ lượt đi 20%.
BÀI TẬP
1. Giải các phương trình:
a) \(5x(2x - 3) = 0\); b) \((2x - 5)(3x + 6) = 0\);
c) \(\left(\dfrac{2}{3}x - 1\right)\left(\dfrac{1}{2}x + 3\right) = 0\); d) \((2,5t - 7,5)(0,2t + 5) = 0\).
2. Giải các phương trình:
a) \(3x(x - 4) + 7(x - 4) = 0\); b) \(5x(x + 6) - 2x - 12 = 0\);
c) \(x^2 - x - (5x - 5) = 0\); d) \((3x - 2)^2 - (x + 6)^2 = 0\).
3. Giải các phương trình:
a) \(\dfrac{x + 5}{x - 3} + 2 = \dfrac{2}{x - 3}\); b) \(\dfrac{3x + 5}{x + 1} + \dfrac{2}{x} = 3\);
c) \(\dfrac{x + 3}{x - 2} + \dfrac{x + 2}{x - 3} = 2\); d) \(\dfrac{x + 2}{x - 2} - \dfrac{x - 2}{x + 2} = \dfrac{16}{x^2 - 4}\).
4. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 60 km. Sau 1 giờ 40 phút, một xe máy cũng đi từ A đến B và đến B sớm hơn xe đạp 1 giờ. Tính tốc độ của mỗi xe, biết rằng tốc độ của xe máy gấp 3 lần tốc độ của xe đạp.
5. Một xí nghiệp dự định chia đều 12 600 000 đồng để thưởng cho các công nhân tham gia hội thao nhân ngày thành lập xí nghiệp. Khi đến ngày hội thao chỉ có 80% số công nhân tham gia, vì thế mỗi người tham gia hội thao được nhận thêm 105 000 đồng. Tính số công nhân dự định tham gia lúc đầu.