Bài 1. ĐƠN THỨC VÀ ĐA THỨC NHIỀU BIẾN

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

a) Mỗi đơn thức cũng được coi là một đa thức (chỉ chứa một hạng tử).

b) Số 0 được gọi đơn thức không, cũng gọi là đa thức không.

Nhóm A: \(2xy; -3x^2; \dfrac{1}{2}xy^2; 10\)  

Nhóm B: \(x^2 - 2x + 1; x^2 - \dfrac{1}{2}xy\)

Nhóm C: \(\dfrac{x}{y}; 2 - \sqrt{x}\)

Các biểu thức như ở nhóm A gọi là đơn thức; các biểu thức như ở nhóm A hoặc nhóm B gọi là đa thức. 

Các biểu thức như ở nhóm C không phải là đơn thức, cũng không phải là đa thức.

\(-3x; 2xy + x - 1; \dfrac{1}{2}x^2yz; -xy + \dfrac{1}{4}xz; -\sqrt{2}; \sqrt{x}; 3xy\left(-\dfrac{1}{4}\right)y^2; \dfrac{x}{y}.\)

Trong số các biểu thức trên, hãy chỉ ra:

a) Các đơn thức;

b) Các đa thức và số hạng tử của chúng.

a) \(6x^2y\);

b) \(x^2 - 4xy + 4y^2\).

\(ab - \pi r^2; \dfrac{4\pi r^3}{3}; \dfrac{p}{2\pi}; x - \dfrac{1}{y}; 0; \dfrac{1}{\sqrt{2}}; x^3 - x + 1.\)

Trong các biểu thức trên, hãy chỉ ra:

a) Các đơn thức;

b) Các đa thức và số hạng tử của chúng.

a) Viết biểu thức biểu thị diện tích bức tường (không tính phần cửa số).

b) Tính giá trị diện tích trên khi \(a = 2\) m; \(h = 3\) m; \(r = 0,5\) m (lấy \(\pi = 3,14\); làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến mà mỗi biến chỉ xuất hiện một lần dưới dạng nâng lên luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

Thừa số là một số nói trên được gọi là hệ số, tích của các thừa số còn lại gọi là phần biến của đơn thức thu gọn.

a) Tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức (có hệ số khác 0) gọi là bậc của đơn thức đó.

b) Ta coi một số khác 0 là đơn thức thu gọn, có hệ số bằng chính số đó và có bậc bằng 0.

c) Đơn thức không (số 0) không có bậc.

d) Khi viết đơn thức thu gọn ta thường viết hệ số trước, phần biến sau và các biến được viết theo thứ tự bảng chữ cái.

a) Đơn thức nào sau đây là đơn thức thu gọn? Chỉ ra hệ số và bậc của mỗi đơn thức đó.

b) Hãy thu gọn các đơn thức còn lại.

a) Để thu gọn một đơn thức, ta nhóm các thừa số là các số rồi tính tích của chúng; nhóm các thừa số cùng một biến rồi viết tích của chúng thành luỹ thừa của biến đó.

b) Từ nay, khi nói đến đơn thức, nếu không nói gì thêm, ta hiểu đó là đơn thức thu gọn.

a) \(12xy^2x\);        b) \(-y(2z)y\);        c) \(x^3yx\);        d) \(5x^2y^3z^4y\).

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.

Để cộng, trừ (hay tìm tổng, hiệu) hai đơn thức đồng dạng, ta cộng, trừ hệ số của chúng và giữ nguyên phần biến.

a) Tính tổng thể tích của hình hộp chữ nhật A và B.

b) Thể tích của A lớn hơn thể tích của B bao nhiêu?

a) \(4xy^2\) và \(7xy^2\);      b) \(xyx\) và \(-3x^2y\);      c) \(2xy\) và \(xyz^2\).

a) \(xy\) và \(-6xy\);      b) \(2xy\) và \(xy^2\);      c) \(-4yzx^2\) và \(4x^2yz\).

Đa thức thu gọn là đa thức không chứa hai hạng tử nào đồng dạng.

Chú ý:

a) Biến đổi một đa thức thành đa thức thu gọn gọi là thu gọn đa thức đó.

b) Để thu gọn một đa thức, ta nhóm các hạng tử đồng dạng với nhau và cộng các hạng tử đồng dạng đó với nhau.

c) Bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức gọi là bậc của đa thức đó.

a) \(A = x - 2y + xy - 3x + y^2\);      b) \(B = xyz - x^3y + xz - \dfrac{1}{2}xyz + \dfrac{1}{2}xz\).

a) Viết các biểu thức tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó.

b) Tính giá trị của các đại lượng trên khi \(a = 2\) cm; \(h = 5\) cm.

\(-3; 2z; \dfrac{1}{3}xy + 1; -10x^3yz; \dfrac{4}{xy}; 5x - \dfrac{z}{2}; 1 + \dfrac{1}{y}\).

\(5xyx; -xyz\dfrac{2}{3}y; -2x^2\left(-\dfrac{1}{6}\right)x\).

a) \(M = x - 3 - 4y + 2x - y\);      b) \(N = -x^2t + 13t^2 + xt^2 + 5t^3 - 4\).